场论笔记

第一章：相对性原理

1. 相互作用速度

1. 实验表明，我们的相互作用并不是瞬时的. 相互作用的一个物体改变，需要一定时间才能在别的物体上显现效果. 我们将这段时间和之间的距离相除，我们就能得到相互作用的传播速度
2. 一个物体向另一个物体相互作用，我们一般称作信号，从而我们将这个速度称作信号速度.
3. 由相对性原理，信号的传播速度在所有的惯性参考系中都是一样的. 那么我们将必须要求它的速度是一个普适常数，我们之后将会需要证明它是光速.
4. 我们将相对性原理和传播速度有限性结合起来，我们将能得到 爱因斯坦相对性原理.
5. 它的正确是实验中证明的. 对于光如果说它是粒子，那么可以简单地按照 Galileo 变换来计算出它的速度. 但是它的结果和声音一样，无论什么相对速度来移动，都是一个常数.

6. 并且由于时间并非是绝对的，从而我们将需要区分“同时”这个概念. 两个事件在一个坐标系内同时，在另一个内将完全不同，我们可以简单地用这个图来看

   
   7. 我们在 参考系上，我们从 A 点向 BC 两点同时发出信号，同时有以 相对于 参考系向左移动的 参考系. 在 中自然是同时到达 的，但是在 中，信号的传播速度仍然是 ，我们从 参考系（视作静止的），我们将发现 ABC 都是往右走的，那么 自然是在靠近源，而 在远离源. 那么自然是信号更快传到了 而传到 更久了.
   8. 那么我们上文得到了时间不能和参考系分开了，因为时间不再绝对，同时将需要就参考系放到一起说. 那么我们空间和时间放到一个假想四维空间中描述，一个 Event 将可以用点来描述. 称为世界点. 一个粒子可以用一条线来描述（参考 Linear Algebra for Physics 中对 Quotient Space 的描述），我们将它称作世界线.

2. 间隔

1. 我们现在用数学的形式来表述光速不变定理.
2. 我们首先假设在 的时候送出一个光信号，在 的时候接受到了这个信号. 那么这两个 Event 的空间上的间距我们可以用 . 同样的，我们可以用 来表示，即是说 . 由于它们相等，我们可以得到 同样的，我们在另一个参考系中也能得到完全类似的结论.
3. 但是我们上文提到的 Event 是基于光速运动下推导的. 在现实中大部分的运动都不是光速，从而右式将不等于零. 从而我们将定义这样的一个物理量

5. 我们称之为两个 Event 的间隔（为什么我们这个式子和上文的推导的符号相反，因为我们大部分的运动无法达到光速，我们这样规定能让 ，我们将这个称作 度规约定，和广义相对论的反过来的度规区别）. 或者在两个极度接近的 Event 中上式化作

6. 我们由光速不变，自然能得到在任何一个参考系中我们都能得到 （你或许会好奇，我们之前不是做过实验吗，在两个参考系下的两个同时事件将不再同时. 这说明在不同坐标系下的不同的距离将会影响不同的时间，刚好证明了它是对的）. 同时，由于空间和时间都是均匀的，我们能得到 是线性的，那么自然对于不同的两个参考系，他们的间隔满足 . 同时由于时间和空间都各向同性，我们能得到 ，且只取决于 的大小而非方向，即是说我们可以得到 . 同时我们可以由我们的时间反演可以得到同样的结论（因为 ）. 我们现在假设存在三个参考系，我们将能得到 ，我们将第二式带入第一式，我们将能得到 . 那么我们自然能得到 . 我们说它之和大小有关，但是速度必然是由两个矢量相加的，即是说我们得到的必然是存在角度有关的内容. 但是左侧完全没有角度，即是说它如果真的和速度有关就错误了. 那么它必然是一个常数. 我们由同一个式子，我们能得到 ，那么 ，即是说 ，即是说

   1. 那么我们能得到一个这样的一个由光速不变得到的 推广出来的结论：两个 Event 的间隔在任意一个参考系中都不变.

   2. 其实它是由光速不变推导出来的，那么如果我们承认它，我们能完全由它来推导出我们的光速不变定理，即是说它也是光速不变的数学表示

      1. 那么我们现在手上有一个类似最小作用量原理的宇宙公理：
      2. 我们先假设在站台上以光速发出一个信号，那么在某一个点接收到了它，它们之间的间隔自然满足 ，那么在站台外经过的一辆车以速度 经过站台，它的 . 我们也能得到 . 我们将它给开放，除以 ，我们将能得到 . 左边等于什么？就是我们测得的速度，它等于 ，即是说我们能得到在我们火车（另一个参考系）上，无论这个参考系的相对速度是多少，我们都能得到这个 Event 的速度.
7. 既然我们有了间隔的定义，我们现在开始研究它. 那么我们先考虑一个情况：是否存在一个 使得本来在 中的两个 Event 在同一点发生？
8. 我们自然有 . 同时，由于在 中我们让两个 Event 发生在一个点上，那么 ，即是说

1. 当然，上式自然只能在当 是实数的时候满足. 则当两个 Event 的间隔为实数的情况才能满足它的平方大于零.
2. 由于这样的间隔由时间决定，像时间一样，我们称这样的间隔为类时间隔
9. 同样的，如果我们的两个 Event 在同一个时间发生，那么同样，我们有

我们称之为类空间隔. 但是由于间隔的平方是一个负数，我们需要我们的间隔是虚数才能找到我们的参考系.

10. 我们取一个 Event 作为我们的坐标原点 ，取我们的一维空间和时间作为我们的 轴，那么我们将有这样的一个结果：

显然，我们的斜率的倒数将表示为我们的速度. 那么我们的任何的运动均不能超过光速，我们将有这样的两条函数，一条是速度为 运动，一条是以速度 运动，那么我们的运动将会被约束在我们的 和 里面. 其中，在 中，我们的运动将会是 ，即是说是类时的，由于它在我们的 轴的正向，我们将有我们的 ，那么它相对与我们的 在时间上将是 绝对未来. 同理，在 上，将是 绝对过去. 在剩下的两片区域上，它都是类空间隔，那么它在不同的参考系下都会发生在不同的点，我们称之为 绝对分隔，并且它的发生的时间早晚也是相对的.

3. 固有时

1. 我们现在考虑以一个钟的自己作为一个惯性参考系，我们将直接观察它的时间变化，而非通过观察一个运动在 点的时间，和终点 的时间，相减得到我们的时间。
2. 那么我们知道，在不同的坐标系中，我们的间隔是不变的。我们现在直接考虑一个随意取的坐标系和以它自身运动的惯性坐标系。在惯性坐标系下，我们的 ，即是说满足 ，那么我们将有 ，由于我们的 ，那么我们将有

我们将它积分，我们有

我们称之为固有时。并且我们容易发现，我们的固有时必然比任意一个静止的坐标系相对的时间间隔小，或者说运动的钟的走得慢。

3. 但是这里我们如果从我们的时钟的参考系去看我们的外部的静止参考系，我们会发现我们的外部的时钟也是慢于我们的。不对吧，我们外部看我们的时钟是慢的，我们从时钟去看外部应该是相反的才对吧。

   1. 在这里，我们的 AI 有这样的一个举例：假设你和我，各自开着一辆车，在宽阔的广场上往前开。我们的车速一模一样，都是 100 迈。但是！ 我们的路线有一个夹角（比如 30 度），我们正渐行渐远。现在，你转过头，垂直于你的车窗（也就是在你的坐标系里取等高线） 看向我。你会发现什么？你会发现：“咦，他怎么落后于我了？他的车开得比我慢啊！”这时候，我也转过头，垂直于我的车窗 看向你。我会发现什么？我也会发现：“咦，他怎么落后于我了？他开得比我慢啊！”问题来了：我们俩谁疯了？谁都没疯！因为我们都在把对方的运动，强行“投影”到自己那根笔直的坐标轴上。因为有夹角，投影下来的长度当然比原本的短！在狭义相对论里，速度 的本质，就是两个参考系在四维时空（闵可夫斯基几何）中的“夹角”！你看我变慢，我看你也变慢，这在几何上完完全全就等于：我看你的影子比你短，你看我的影子也比你短！这没有任何逻辑矛盾！
4. 我们现在考虑以一个钟的自己作为一个惯性参考系，我们将直接观察它的时间变化，而非通过观察一个运动在 点的时间，和终点 的时间，相减得到我们的时间.
5. 那么我们知道，在不同的坐标系中，我们的间隔是不变的. 我们现在直接考虑一个随意取的坐标系和以它自身运动的惯性坐标系. 在惯性坐标系下，我们的 ，即是说满足 ，那么我们将有 ，由于我们的 ，那么我们将有

我们将它积分，我们有

我们称之为固有时. 并且我们容易发现，我们的固有时必然比任意一个静止的坐标系相对的时间间隔小，或者说运动的钟的走得慢.

6. 但是这里我们如果从我们的时钟的参考系去看我们的外部的静止参考系，我们会发现我们的外部的时钟也是慢于我们的. 不对吧，我们外部看我们的时钟是慢的，我们从时钟去看外部应该是相反的才对吧.

   1. 在这里，我们的 AI 有这样的一个举例：假设你和我，各自开着一辆车，在宽阔的广场上往前开. 我们的车速一模一样，都是 100 迈. 但是！ 我们的路线有一个夹角（比如 30 度），我们正渐行渐远. 现在，你转过头，垂直于你的车窗（也就是在你的坐标系里取等高线） 看向我. 你会发现什么？你会发现：“咦，他怎么落后于我了？他的车开得比我慢啊！”这时候，我也转过头，垂直于我的车窗 看向你. 我会发现什么？我也会发现：“咦，他怎么落后于我了？他开得比我慢啊！”问题来了：我们俩谁疯了？谁都没疯！因为我们都在把对方的运动，强行“投影”到自己那根笔直的坐标轴上. 因为有夹角，投影下来的长度当然比原本的短！在狭义相对论里，速度 的本质，就是两个参考系在四维时空（闵可夫斯基几何）中的“夹角”！你看我变慢，我看你也变慢，这在几何上完完全全就等于：我看你的影子比你短，你看我的影子也比你短！这没有任何逻辑矛盾！

• [ ] 关于这部分之后再看

1. 那么我们要研究这个，我们

4. Lorentz Transformation

1. 我们现在研究一个参考系，以 的速度相对我们的原参考系运动，我们由我们的间隔不变，即是说 ，我们考虑这个相对的运动发生在 分量上，即是说
2. 那么我们现在要考虑 ，我们假设变化是线性的，即是说 ，我们将它代入左侧，我们有 。我们两端系数必然相等，即是说我们有 ，那么我们只能想到双曲函数满足这样的性质（我们也可以在这里联想到高斯角，即是说三维的满足三角函数的关系）。那么我们将 代入，我们将有我们的 . 那么我们现在考虑我们的运动的参考系的原点的运动，即是说我们的 ，那么我们将有 . 我们将两式相除，我们有 ，其中我们注意到 ，则我们有 。我们将这个式子先表示 ，代入到我们的 ，后续忽略，我们将有我们 , ，我们将得到我们 Lorentz Transformation 的最终表达式：

3. 在这样的一个表达式下，我们自然可以用它来再次计算我们之前的固有时，可以用它来表示我们的固有长度，固有体积等，我们将前面的收缩的因子简单写作
4. 同样的，我们也可以由这样的式子来计算速度的变换。同时我们仍然考虑 方向上不变。我们将前面的式子写作微分形式，即是说

我们将它相除，用 来表示我们的其中的速度，我们将有速度的变换

5. 如果我们考虑速度远小于光速的情况，我们利用近似 以及我们的 ，我们将它带入我们之前的三个式子，我们可以将其简化，在这里不再写出，可自行推导。
6. 我们知道，我们因为光速不变的情况下，我们的速度相当于对我们的速度变换的那个轴下我们存在着类似于各向异性的情况。我们考虑运动的速度是在 平面上，我们将有 ，我们将会有我们的我们的

• [ ] 这个公式和下个公式的推导。

在光运动的情况下，同样存在一个偏差。此时 ，我们将它带入，我们有 ，如果我们的 ，我们可以得到正弦余弦的差值满足某个式子（自己推），我们最终的角度差满足

这就是我们的光行差公式

4. 四维矢量

2. 那么我们现在要考虑 ，我们假设变化是线性的，即是说 ，我们将它代入左侧，我们有 . 我们两端系数必然相等，即是说我们有 ，那么我们只能想到双曲函数满足这样的性质（我们也可以在这里联想到高斯角，即是说三维的满足三角函数的关系）. 那么我们将 代入，我们将有我们的 . 那么我们现在考虑我们的运动的参考系的原点的运动，即是说我们的 ，那么我们将有 . 我们将两式相除，我们有 ，其中我们注意到 ，则我们有 . 我们将这个式子先表示 ，代入到我们的 ，后续忽略，我们将有我们 , ，我们将得到我们 Lorentz Transformation 的最终表达式：

3. 或者说写作所有的四维矢量均通用的形式：

4. 在这样的一个表达式下，我们自然可以用它来再次计算我们之前的固有时，可以用它来表示我们的固有长度，固有体积等，我们将前面的收缩的因子简单写作

5. 速度的变换

1. 由 Lorentz Transformation 的微分形式，我们可以计算速度的变换. 即是说

我们将它相除，用 来表示我们的其中的速度，我们将有速度的变换

2. 如果我们考虑速度远小于光速的情况，我们利用近似 以及我们的 ，我们将它带入我们之前的三个式子，我们可以将其简化，在这里不再写出，可自行推导.
3. 我们知道，我们因为光速不变的情况下，我们的速度相当于对我们的速度变换的那个轴下我们存在着类似于各向异性的情况. 我们考虑运动的速度是在 平面上，我们将有 ，我们将会有我们的我们的

• [ ] 这个公式和下个公式的推导.

在光运动的情况下，同样存在一个偏差. 此时 ，我们将它带入，我们有 ，如果我们的 ，我们可以得到正弦余弦的差值满足某个式子（自己推），我们最终的角度差满足

这就是我们的光行差公式

6. 四维矢量

1. 我们用这样的一个一维矢量来表示某个运动 ，也就是说的

2. 我们规定我们的这个矢量的长度的平方满足 ，其中它满足我们的 Lorentz Transformation 下不变.

3. 我们称指标在上方的，例如 ，称其为逆变量Contra-variant，它一般表示我们的日常生活中的某一个运动矢量. 因为它的坐标系的单位发生放大，它的长度将会缩小（例如我们的一个 的单位径矢是在 作为单位的情况下，它的长度是 ，但是如果将坐标系缩小，例如缩小到 ，我们的这个矢量的长度将变成 ，反而增大了，从而称之为逆变量）.

4. 将指标在下方的，例如 ，称其为协变量 Covariant，它一般表示一个变化趋势，而非我们的实际的运动. 例如我们的

5. 我们现在先引入这样的一个张量 至于为什么需要它，因为我们的间隔是这样的形式. 它的 Covariant 具有同样的形式

6. 我们将需要规定我们的你变量与协变量之间存在这样的一个变换规则 ， 即是说我们除了第零个分量移动不变号以为，我们其他的分量上下标的移动需要变换一次我们的正负号.

7. 从而我们可以由以上的结果，将两个二维矢量的标积写作

8. 除此外，我们取四维矢量的内积，我们称之为缩并. 即是说

7. 四维速度

1. 我们可以类似于我们的三维的速度的定义，定义 , 由于 ，我们代入将会有

且我们能轻松得到 ，即是说我们的四维速度的矢量大小始终不变！

2. 且对于我们的四维加速度，即 ，满足这样的

以及或许我们需要用这样的一道题来完成我们的练习了，这道题在 中也会再次出现

3. 在固有参考系中， 加速度 保持不变的直线运动（即是说求 的方程） 相对于较为复杂的 L 系，我们不妨先考虑粒子的固联参考系。在这样的参考系中，我们有 ，这意味着 ， ，由 ，我们自然有 ，而对于 ，我们只能从定义入手，即是说 ，我们自然能得到如果我们规定直线运动方向是 ，我们将能得到 ，即 . 那么我们知道我们的 是一个 Lorentz Invariance（因为从分子和分母都是），即是说对于我们的 L 系的 的结果和上文是一样的. 那么我们或许在现在能建立一个解题逻辑了. 我们现在计算在 L 系中的加速度（为了和上文区别，我们用 来表示），两次积分后就是我们想要的结果了. 那么和上文的步骤是没有区别的. 只是我们的 不再是一个简单的值. 仍然从定义入手，. 首先是 其次是 那么在 L 系中我们能得到 联立，我们能得到 关于左式，我们或许需要知道它不是一个莫名的式子，我们可以试着对 求一个关于时间的微分，我们自然能得到 即是说 那么我们将两边对时间微分，我们能得到 ，我们将 的条件代入，自然有 ，即是说 . 我们对这样的式子简单平方变换后，将会得到 再次积分，我们就能得到我们最终想要的结果